Заочный тур

Срок сдачи или отправки решений задач — не позднее 5 января 2005 года по штемпелю. Адрес для отправки корреспонденции:
620219, С.Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН.
На конверте должна быть пометка "олимпиада" и класс (7,8,9,10 или 11), и указан обратный адрес. В конверт с решением необходимо вложить также почтовый конверт со своим домашним адресом в графе "Куда" (и индексом) и своей фамилией в графе "Кому", чтобы получить ответ.

Результаты и программу олимпиады также можно будет узнать на сайте ИММ УрО РАН. Справки по телефону 375-35-02 в понедельник с 13 до 14.30 и в четверг с 13 до 18 часов.

Задачи заочного тура

7 класс.

1. Сережа задумал натуральное число n. Делитель этого натурального числа мальчик умножил на 5, и результат вычел из n. Получилось 9. Чему равно n? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.

2. Как известно, билеты на трамвае имеют номера от 000000 до 999999. Друзья решили назвать номер почти счастливым, если сумма каких-то трех его цифр равна сумме остальных цифр. Докажите, что почти счастливых билетов меньше, чем 500000.

3. Даны 7 попарно пересекающихся прямых на плоскости. Известно, что любые три прямые пересекаются в одной точке. Докажите, что все прямые пересекаются в одной точке.

4. У продавца в Волшебной стране имеется 9 гирь весом 1, 2, 3, …, 9 кг. Известно, что все покупатели, стоявшие в очереди к этому продавцу (это ведь в Волшебной стране!), купили разное число килограммов товаров. Какое максимальное число покупателей могло стоять в очереди?

8 класс

1. Известно, что одно из натуральных чисел xи y — четно, а другое — нечетно. Представить число xy + y в виде разности квадратов двух целых чисел.

2.Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,0001?

3. Даны 7 попарно пересекающихся прямых на плоскости. Известно, что любые три прямые пересекаются в одной точке. Докажите, что все прямые пересекаются в одной точке.

4. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны.

5. Доказать, что если между цифрами числа 1331 вставить по равному количеству нулей, то получится точный куб.

9 класс

1. По кругу сидят 15 девочек и 25 мальчиков. Доказать, что найдется один человек, который сидит между двумя девочками.

2. Незнайка стащил ящик с радиодеталями. И, обалдев от такого счастья, решил собрать все детали в одну большую схему. Незнайка ходил на пару занятий радиокружка и знал, что это надо делать так, чтобы один конец одной детали соединялся ровно с одним концом другой детали, а в результате всего процесса не оставалось свободных концов. Какое наибольшее количество деталей Незнайка сможет использовать и как ему их собирать, если в ящике оказалось p деталей с тремя концами и k деталей с четырьмя концами? (Увы, но названия деталей Незнайка не успел подглядеть.)

3. Числа р и 2р + 1 простые, р>3. Докажите, что число 4р + 1 составное.

4. Решить уравнение
x³ - ( 2a + 1)x² + (a² + 2a - b²)x + b² - a² = 0.

5. В четырехугольнике три угла по 100°. Докажите, что диагональ, проведенная из вершины четвертого угла, больше, чем вторая диагональ.

10 класс.

1. Числа 2²⁰⁰⁴ и 5²⁰⁰⁴ выписаны одно за другим. Сколько всего цифр выписано?

2. Даны точки М, К и Р — середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Построить этот четырехугольник с помощью циркуля и линейки.

3. Дано несколько квадратных трехчленов. Каждый из них имеет два корня, а разность любых двух не имеет корней. Докажите, что сумма этих трехчленов имеет хотя бы один корень.

4. В квадрате 10 х 10 клеток закрашено ровно 10 клеток. При каком наибольшем k найдется клетчатый прямоугольник периметра k без закрашенных клеток?

5. Определенная на всей числовой прямой функция f(x) такова, что выполнено тождество
f(f(f(…f(x)))) ≡1 (Знак f записан 1997 раз).
Какое наименьшее количество корней может иметь уравнение f(x)=1?

11 класс

1. Даны три параллельные прямые. Построить квадрат, три вершины которого лежат на всех этих прямых.

2. Доказать, что существует функция, определенная на множестве натуральных чисел с целыми значениями, удовлетворяющая тождеству f(f(n))≡n², где nN.

3. Покажите, что уравнение x³ + x = y² не имеет целочисленных решений кроме x = y =0.

4. На окружности даны 20 точек. Двое по очереди проводят хорды с концами в этих точках так, чтобы хорды не пересекались. Проигрывает тот, кто не сможет провести хорду. Кто победит при правильной игре — начинающий, или его партнер?

5. Даны четыре точки на плоскости. Найти центр и радиус наименьшего круга, содержащего все эти точки.