ВУЗОВСКО-АКАДЕМИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ

среди школьников Свердловской области

2006 — 2007 учебный год

6 класс

День первый

6.1. После урока математики в 6"А" треть присутствующих направилась на футбольное поле, столько же разошлось по школьным кружкам, а пятая часть просто ушла домой. А еще трое остались на дополнительные занятия с учителем. Сколько учащихся было на уроке математики?

6.2. Выполняя домашнее задание, Маша посчитала произведение всех чисел от 1 до 100 (число 100!=1∙2∙3∙4∙…∙99∙100). Затем она посчитала сумму цифр этого числа, у суммы снова посчитала сумму цифр, и так далее, пока не получила число из одной цифры. Что это за число? (Маша уже ходит во второй класс и считает безошибочно). Ответ обосновать.

6.3. В руках доктора Ватсона оказались две фальшивые монеты, масса каждой из которых 9г. Он положил эти монеты в карман, где они перепутались с четырьмя настоящими, каждая из которых весит 10г. По виду и вкусу монеты неотличимы. У Ватсона есть чашечные весы без гирь, но они могут работать неправильно, если на каждой чаше лежит меньше 20г. В остальных случаях весы работают исправно. Как Ватсону с помощью только этих весов найти все фальшивые монеты?

6.4. У бедного мальчика Пети всего 8 спичек. Как, не повредив свое сокровище (а 8 спичек для него — настоящее сокровище), сложить из всех этих спичек ровно 14 квадратов?

6 класс

День второй

6.5. Жене и Сереже подарили по 10 конфет. Хитрая Женя предложила Сереже такую игру. Они по очереди отдают друг другу по несколько конфет, причем возвращать полученные конфеты нельзя. Число отдаваемых за ход конфет ровно на одну больше, чем число только что полученных, если столько есть, иначе оно равно 1. Если у ходящего в данный момент уже нет своих конфет, то игра заканчивается. Первой ходит Женя и отдает столько конфет, сколько захочет. Докажите, что она может сделать так, что в итоге у нее будет конфет больше.

6.7. Разрезать фигуру, приведенную на рисунке, на 8 равных частей, не являющихся прямоугольниками.

6.8. Сережа записал пятизначное число и умножил его на 9. К своему удивлению, он получил в результате число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Какое число записал Сережа? Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

7 класс

День первый

7.1. В руках доктора Ватсона оказались две фальшивые монеты, масса каждой из которых 9г. Он положил эти монеты в карман, где они затерялись среди десяти настоящих, каждая из которых весит 10г. По виду и вкусу монеты неотличимы. У Ватсона есть чашечные весы без гирь, но они могут работать неправильно, если на каждой чаше лежит меньше 50г. В остальных случаях, весы работают исправно. Как Ватсону с помощью только этих весов найти все фальшивые монеты?

7.2. Найти все такие числа x и y, которые удовлетворяют уравнению

2x(x+1)+2y(y+1)+1=0.

7.3. Двоечник Колька заменил в некотором числовом равенстве одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные — на разные и получил

ВАНЬКА+АНЬКА=ЛЮБОВЬ.

Докажите ему, что он ошибся.

7.4. На паутине, изображенной на рисунке, в точках A и B находятся два паука. Вдруг в точку C села муха и запуталась в паутине. Пауки тут же помчались за добычей по путям, которые выделены. Какому из пауков достанется добыча? Все углы в центре паутины (между радиальными нитями) равны 45 градусов, все отрезки на радиальных нитях (между соседними витками) равны друг другу.

7 класс

День второй

7.5. В некотором классе 30 человек. Некоторые из них знают все буквы, кроме "М", которую они при письме пропускают. Остальные знают все буквы, кроме "Р", которую они также пропускают при письме. Однажды учитель попросил 11 из них написать слово "мак", 7 из оставшихся — слово "мрак", а остальных — слово "рак". В итоге слова "мак" и "рак" оказались написаны по 5 раз. Сколько детей написали свое слово правильно? Ответ обосновать.

7.6. Разрезать фигуру, приведенную на рисунке, на 8 равных частей, не являющихся прямоугольниками.

7.7. Какое наибольшее количество натуральных чисел можно выписать на доске, чтобы разность квадратов любых двух из них не делилась на 5?

7.8. На восьми карточках написаны цифры (по одной на карточке) от 1 до 8. Карточки разложили в два ряда. Оказалось, что число, образованное цифрами верхнего ряда, является кубом некого целого числа А, и число, образованное цифрами нижнего ряда,­­ - квадратом того же самого числа А. Какие значения может принимать число А? Ответ обосновать.